rigidity cutoff

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.23.15%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22full%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Geomagnetic%20Rigidity%20Cutoff%0A%0A%20%20%20%20Earth's%20magnetic%20field%20deflects%20cosmic%20rays%20below%20a%20location-dependent%20rigidity%20threshold%20%24R_%5Ctext%7Bcut%7D%24%20(~0%20GV%20at%20the%20poles%2C%20~15%E2%80%9317%20GV%20near%20the%20equator).%20Because%20rigidity%20depends%20on%20charge%20%24Z%24%2C%20the%20cutoff%20affects%20nuclear%20species%20differently.%20We%20compare%20its%20effect%20on%20three%20GSF%20model%20types%20using%20%24R_%5Ctext%7Bcut%7D%20%3D%2020%24%20GV%20(high%2C%20for%20visibility).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Aasync%20def%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20sys%0A%0A%20%20%20%20if%20%22pyodide%22%20in%20sys.modules%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20WASM%20(docs%20gallery)%3A%20TEMPORARY%20until%20globalsplinefit%20is%20on%20PyPI%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20install%20the%20wheel%20published%20under%20%2Fwheels%2F%20on%20the%20same%20site%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20notebook%20is%20served%20from%20(also%20works%20on%20staging%20or%20local%20hosts).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20urllib.parse%20import%20urljoin%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20marimo%20as%20_mo%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20micropip%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20notebook_location()%20resolution%20depth%20differs%20between%20marimo%20export%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20layouts%20%E2%80%94%20try%20site-root%20%2Fwheels%2F%20from%20both%20plausible%20depths%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_err%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_up%20in%20(%22..%2F..%2F%22%2C%20%22..%2F..%2F..%2F%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20await%20micropip.install(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20urljoin(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20str(_mo.notebook_location())%20%2B%20%22%2F%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_up%20%2B%20%22wheels%2Fglobalsplinefit-2.0.0a1-py3-none-any.whl%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_err%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20except%20Exception%20as%20_e%3A%20%20%23%20noqa%3A%20BLE001%20%E2%80%94%20404%20lands%20as%20generic%20error%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_err%20%3D%20_e%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_err%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20_err%0A%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%0A%20%20%20%20from%20globalsplinefit%20import%20GSFEnergy%2C%20GSFEnergyPerNucleon%2C%20GSFRigidity%0A%0A%20%20%20%20plt.rcParams%5B%22figure.figsize%22%5D%20%3D%20(10%2C%206)%0A%0A%20%20%20%20R_CUT%20%3D%2020.0%20%20%23%20GV%0A%20%20%20%20groups%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22p%22%2C%20%22r%22%2C%20%22Proton%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22He%22%2C%20%22orange%22%2C%20%22Helium%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22O*%22%2C%20%22g%22%2C%20%22Oxygen*%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Fe*%22%2C%20%22b%22%2C%20%22Iron*%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20TEMPORARY%20pre-publication%20marker%3A%20stamp%20every%20figure%20this%20notebook%0A%20%20%20%20%23%20shows%20with%20a%20diagonal%20PRELIMINARY%20watermark.%20Delete%20at%20the%20GSF%202026%0A%20%20%20%20%23%20release%20(guarded%20so%20a%20cell%20re-run%20does%20not%20stack%20wrappers).%0A%20%20%20%20if%20not%20getattr(plt.show%2C%20%22_gsf_preliminary%22%2C%20False)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_orig_show%20%3D%20plt.show%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20_show_with_watermark(*args%2C%20**kwargs)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20plt.gcf().text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22PRELIMINARY%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20va%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rotation%3D30%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D42%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontweight%3D%22bold%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22gray%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.18%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D1000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_orig_show(*args%2C%20**kwargs)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_show_with_watermark._gsf_preliminary%20%3D%20True%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.show%20%3D%20_show_with_watermark%0A%20%20%20%20return%20GSFEnergy%2C%20GSFEnergyPerNucleon%2C%20GSFRigidity%2C%20R_CUT%2C%20groups%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Nucleus%20Flux%20(%60GSFEnergy%60)%0A%0A%20%20%20%20At%20total%20energy%20%24E%24%2C%20a%20nucleus%20with%20charge%20%24Z%24%20and%20mass%20%24A%24%20has%20rigidity%20%24R%20%3D%20%5Csqrt%7BE%5E2%20-%20(A%20m_N)%5E2%7D%20%2F%20Z%24.%20Protons%20(%24A%2FZ%20%3D%201%24)%20hit%20the%20cutoff%20at%20higher%20total%20energies%20than%20heavier%20nuclei%20(%24A%2FZ%20%5Capprox%202%24).%20Left%20panel%3A%20absolute%20fluxes%20with%20(dashed)%20and%20without%20(solid)%20cutoff.%20Right%20panel%3A%20suppression%20ratio.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(GSFEnergy%2C%20R_CUT%2C%20groups%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20energy%20%3D%20np.logspace(0%2C%203%2C%20500)%20%20%23%201%20GeV%20to%2010%20PeV%0A%20%20%20%20energy_exponent%20%3D%202.6%0A%20%20%20%20gsf%20%3D%20GSFEnergy()%0A%20%20%20%20_fig%2C%20(_ax1%2C%20_ax2)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(16%2C%207))%0A%20%20%20%20for%20_name%2C%20_color%2C%20_label%20in%20groups%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_f0%20%3D%20gsf.flux(energy%2C%20_name)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_f1%20%3D%20gsf.flux(energy%2C%20_name%2C%20rigidity_cutoff%3DR_CUT)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax1.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20energy%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_f0%20*%20energy**energy_exponent%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22-%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D_label%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax1.plot(energy%2C%20_f1%20*%20energy**energy_exponent%2C%20%22--%22%2C%20color%3D_color%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_f0_tot%20%3D%20gsf.total_flux(energy)%0A%20%20%20%20_f1_tot%20%3D%20gsf.total_flux(energy%2C%20rigidity_cutoff%3DR_CUT)%0A%20%20%20%20_ax1.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20energy%2C%20_f0_tot%20*%20energy**energy_exponent%2C%20%22-%22%2C%20color%3D%22k%22%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D%22Total%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax1.plot(energy%2C%20_f1_tot%20*%20energy**energy_exponent%2C%20%22--%22%2C%20color%3D%22k%22%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax1.set_xscale(%22log%22)%0A%20%20%20%20_ax1.set_yscale(%22log%22)%0A%20%20%20%20_ax1.set_xlabel(%22Energy%20%5BGeV%5D%22)%0A%20%20%20%20_ax1.set_ylabel(f%22Nucleus%20Flux%20x%20(E%2FGeV)%24%5E%7B%7B%7Benergy_exponent%7D%7D%7D%24%20%5B1%2F(GeV%20m%C2%B2%20s%20sr)%5D%22)%0A%20%20%20%20_ax1.set_xlim(energy%5B0%5D%2C%20energy%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20_ax1.set_ylim(1.0%2C%2030000.0)%0A%20%20%20%20_ax1.legend()%0A%20%20%20%20_ax1.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_ax1.set_title(f%22Nucleus%20Flux%20(solid%3A%20no%20cutoff%2C%20dashed%3A%20%24R_%7B%7Bcut%7D%7D%24%20%3D%20%7BR_CUT%7D%20GV)%22)%0A%20%20%20%20for%20_name%2C%20_color%2C%20_label%20in%20groups%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_f0%20%3D%20gsf.flux(energy%2C%20_name)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_f1%20%3D%20gsf.flux(energy%2C%20_name%2C%20rigidity_cutoff%3DR_CUT)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20with%20np.errstate(divide%3D%22ignore%22%2C%20invalid%3D%22ignore%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ratio%20%3D%20np.where(_f0%20%3E%200%2C%20_f1%20%2F%20_f0%2C%20np.nan)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax2.plot(energy%2C%20_ratio%2C%20%22-%22%2C%20color%3D_color%2C%20lw%3D1.5%2C%20label%3D_label)%0A%20%20%20%20_ax2.set_xscale(%22log%22)%0A%20%20%20%20%23%20Ratio%20plot%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlabel(%22Energy%20%5BGeV%5D%22)%0A%20%20%20%20_ax2.set_ylabel(%22Flux%20ratio%20(with%20%2F%20without%20cutoff)%22)%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlim(energy%5B0%5D%2C%20energy%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20_ax2.set_ylim(-0.05%2C%201.15)%0A%20%20%20%20_ax2.legend()%0A%20%20%20%20_ax2.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_ax2.set_title(f%22Suppression%20by%20%24R_%7B%7Bcut%7D%7D%24%20%3D%20%7BR_CUT%7D%20GV%22)%0A%20%20%20%20_ax2.axhline(1.0%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.show()%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Rigidity%20Flux%20(%60GSFRigidity%60)%0A%0A%20%20%20%20In%20rigidity%20space%20the%20cutoff%20is%20a%20sharp%20vertical%20boundary%20at%20%24R_%5Ctext%7Bcut%7D%24%2C%20identical%20for%20all%20species.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(GSFRigidity%2C%20R_CUT%2C%20groups%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20rigidity%20%3D%20np.logspace(-1%2C%204%2C%20500)%20%20%23%200.1%20GV%20to%2010%20TV%0A%20%20%20%20rig_exponent%20%3D%202.6%0A%20%20%20%20gsf_r%20%3D%20GSFRigidity()%0A%20%20%20%20_fig%2C%20(_ax1%2C%20_ax2)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(16%2C%207))%0A%20%20%20%20for%20_name%2C%20_color%2C%20_label%20in%20groups%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_f0%20%3D%20gsf_r.flux(rigidity%2C%20_name)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_f1%20%3D%20gsf_r.flux(rigidity%2C%20_name%2C%20rigidity_cutoff%3DR_CUT)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax1.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rigidity%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_f0%20*%20rigidity**rig_exponent%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22-%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D_label%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax1.plot(rigidity%2C%20_f1%20*%20rigidity**rig_exponent%2C%20%22--%22%2C%20color%3D_color%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_f0_tot%20%3D%20gsf_r.total_flux(rigidity)%0A%20%20%20%20_f1_tot%20%3D%20gsf_r.total_flux(rigidity%2C%20rigidity_cutoff%3DR_CUT)%0A%20%20%20%20_ax1.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rigidity%2C%20_f0_tot%20*%20rigidity**rig_exponent%2C%20%22-%22%2C%20color%3D%22k%22%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D%22Total%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax1.plot(rigidity%2C%20_f1_tot%20*%20rigidity**rig_exponent%2C%20%22--%22%2C%20color%3D%22k%22%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax1.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20R_CUT%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%20lw%3D2%2C%20alpha%3D0.7%2C%20label%3Df%22%24R_%7B%7Bcut%7D%7D%24%20%3D%20%7BR_CUT%7D%20GV%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax1.set_xscale(%22log%22)%0A%20%20%20%20_ax1.set_yscale(%22log%22)%0A%20%20%20%20_ax1.set_xlabel(%22Rigidity%20%5BGV%5D%22)%0A%20%20%20%20_ax1.set_ylabel(f%22Rigidity%20Flux%20x%20(R%2FGV)%24%5E%7B%7B%7Brig_exponent%7D%7D%7D%24%20%5B1%2F(GV%20m%C2%B2%20s%20sr)%5D%22)%0A%20%20%20%20_ax1.set_xlim(rigidity%5B0%5D%2C%20rigidity%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20_ax1.set_ylim(0.1%2C%20100000.0)%0A%20%20%20%20_ax1.legend(fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20_ax1.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_ax1.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Rigidity%20Flux%20(solid%3A%20no%20cutoff%2C%20dashed%3A%20%24R_%7B%7Bcut%7D%7D%24%20%3D%20%7BR_CUT%7D%20GV)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20for%20_name%2C%20_color%2C%20_label%20in%20groups%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_f0%20%3D%20gsf_r.flux(rigidity%2C%20_name)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_f1%20%3D%20gsf_r.flux(rigidity%2C%20_name%2C%20rigidity_cutoff%3DR_CUT)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20with%20np.errstate(divide%3D%22ignore%22%2C%20invalid%3D%22ignore%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ratio%20%3D%20np.where(_f0%20%3E%200%2C%20_f1%20%2F%20_f0%2C%20np.nan)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax2.plot(rigidity%2C%20_ratio%2C%20%22-%22%2C%20color%3D_color%2C%20lw%3D1.5%2C%20label%3D_label)%0A%20%20%20%20_ax2.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20R_CUT%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%20lw%3D2%2C%20alpha%3D0.7%2C%20label%3Df%22%24R_%7B%7Bcut%7D%7D%24%20%3D%20%7BR_CUT%7D%20GV%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax2.set_xscale(%22log%22)%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlabel(%22Rigidity%20%5BGV%5D%22)%0A%20%20%20%20%23%20Ratio%0A%20%20%20%20_ax2.set_ylabel(%22Flux%20ratio%20(with%20%2F%20without%20cutoff)%22)%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlim(rigidity%5B0%5D%2C%20rigidity%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20_ax2.set_ylim(-0.05%2C%201.15)%0A%20%20%20%20_ax2.legend()%0A%20%20%20%20_ax2.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_ax2.set_title(f%22Sharp%20cutoff%20at%20%24R_%7B%7Bcut%7D%7D%24%20%3D%20%7BR_CUT%7D%20GV%22)%0A%20%20%20%20_ax2.axhline(1.0%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.show()%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Nucleon%20Flux%20(%60GSFEnergyPerNucleon%60)%0A%0A%20%20%20%20The%20cutoff%20is%20applied%20per%20element%20during%20the%20nucleon-flux%20summation.%20At%20a%20given%20%24E_N%24%2C%20nucleus%20%24i%24%20has%20rigidity%20%24R_i%20%3D%20(A_i%2FZ_i)%20%5Csqrt%7BE_N%5E2%20-%20m_N%5E2%7D%24%2C%20so%20the%20cutoff%20in%20%24E_N%24%20is%20roughly%20twice%20as%20high%20for%20protons%20as%20for%20heavier%20nuclei.%20Left%3A%20absolute%20flux%20with%201-sigma%20bands%3B%20uncertainties%20propagate%20through%20the%20cutoff%20via%20the%20Jacobian.%20Right%3A%20relative%20uncertainty%20with%20(dashed)%20and%20without%20(solid)%20cutoff.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(GSFEnergyPerNucleon%2C%20R_CUT%2C%20groups%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20ekin%20%3D%20np.logspace(0%2C%203%2C%20500)%20%20%23%201%20GeV%20to%2010%20PeV%20per%20nucleon%0A%20%20%20%20en_exponent%20%3D%203.0%0A%20%20%20%20gsf_n%20%3D%20GSFEnergyPerNucleon()%0A%20%20%20%20_fig%2C%20axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(16%2C%207))%0A%20%20%20%20for%20_name%2C%20_color%2C%20_label%20in%20groups%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_f0%20%3D%20gsf_n.flux(ekin%2C%20_name)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_f1%20%3D%20gsf_n.flux(ekin%2C%20_name%2C%20rigidity_cutoff%3DR_CUT)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20e1%20%3D%20gsf_n.error(ekin%2C%20_name%2C%20rigidity_cutoff%3DR_CUT)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B0%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ekin%2C%20_f0%20*%20ekin**en_exponent%2C%20%22-%22%2C%20color%3D_color%2C%20lw%3D1.5%2C%20label%3D_label%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B0%5D.plot(ekin%2C%20_f1%20*%20ekin**en_exponent%2C%20%22--%22%2C%20color%3D_color%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B0%5D.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ekin%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(_f1%20-%20e1)%20*%20ekin**en_exponent%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(_f1%20%2B%20e1)%20*%20ekin**en_exponent%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20facecolor%3D_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.15%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_f0_tot%20%3D%20gsf_n.total_flux(ekin)%0A%20%20%20%20_f1_tot%20%3D%20gsf_n.total_flux(ekin%2C%20rigidity_cutoff%3DR_CUT)%0A%20%20%20%20e1_tot%20%3D%20gsf_n.total_error(ekin%2C%20rigidity_cutoff%3DR_CUT)%0A%20%20%20%20axes%5B0%5D.plot(ekin%2C%20_f0_tot%20*%20ekin**en_exponent%2C%20%22-%22%2C%20color%3D%22k%22%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D%22Total%22)%0A%20%20%20%20axes%5B0%5D.plot(ekin%2C%20_f1_tot%20*%20ekin**en_exponent%2C%20%22--%22%2C%20color%3D%22k%22%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20axes%5B0%5D.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ekin%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_f1_tot%20-%20e1_tot)%20*%20ekin**en_exponent%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_f1_tot%20%2B%20e1_tot)%20*%20ekin**en_exponent%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20facecolor%3D%22k%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20axes%5B0%5D.set_xscale(%22log%22)%0A%20%20%20%20axes%5B0%5D.set_yscale(%22log%22)%0A%20%20%20%20axes%5B0%5D.set_xlabel(%22%24E_N%24%20%5BGeV%2Fnucleon%5D%22)%0A%20%20%20%20axes%5B0%5D.set_ylabel(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Nucleon%20Flux%20x%20%24(E_N%2F%5C%5Cmathrm%7B%7BGeV%7D%7D)%5E%7B%7B%7Ben_exponent%7D%7D%7D%24%20%5B1%2F(GeV%20m%C2%B2%20s%20sr)%5D%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20axes%5B0%5D.set_xlim(ekin%5B0%5D%2C%20ekin%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20axes%5B0%5D.set_ylim(500.0%2C%20100000.0)%0A%20%20%20%20axes%5B0%5D.legend(fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20axes%5B0%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20axes%5B0%5D.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Nucleon%20Flux%20(solid%3A%20no%20cutoff%2C%20dashed%3A%20%24R_%7B%7Bcut%7D%7D%24%20%3D%20%7BR_CUT%7D%20GV)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20for%20_name%2C%20_color%2C%20_label%20in%20groups%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_f0%20%3D%20gsf_n.flux(ekin%2C%20_name)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20e0%20%3D%20gsf_n.error(ekin%2C%20_name)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_f1%20%3D%20gsf_n.flux(ekin%2C%20_name%2C%20rigidity_cutoff%3DR_CUT)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20e1%20%3D%20gsf_n.error(ekin%2C%20_name%2C%20rigidity_cutoff%3DR_CUT)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20with%20np.errstate(divide%3D%22ignore%22%2C%20invalid%3D%22ignore%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20re0%20%3D%20e0%20%2F%20np.maximum(_f0%2C%201e-90)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20re1%20%3D%20e1%20%2F%20np.maximum(_f1%2C%201e-90)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20valid%20%3D%20(_f1%20%3E%200)%20%26%20np.isfinite(re1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B1%5D.plot(ekin%2C%20re0%2C%20%22-%22%2C%20color%3D_color%2C%20lw%3D1.5%2C%20alpha%3D0.4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.any(valid)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B1%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ekin%5Bvalid%5D%2C%20re1%5Bvalid%5D%2C%20%22--%22%2C%20color%3D_color%2C%20lw%3D1.5%2C%20label%3D_label%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20axes%5B1%5D.set_xscale(%22log%22)%0A%20%20%20%20axes%5B1%5D.set_yscale(%22log%22)%0A%20%20%20%20axes%5B1%5D.set_xlabel(%22%24E_N%24%20%5BGeV%2Fnucleon%5D%22)%0A%20%20%20%20axes%5B1%5D.set_ylabel(%22Relative%20Uncertainty%22)%0A%20%20%20%20axes%5B1%5D.set_xlim(ekin%5B0%5D%2C%20ekin%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20axes%5B1%5D.set_ylim(0.003%2C%201)%0A%20%20%20%20axes%5B1%5D.legend(fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20axes%5B1%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20axes%5B1%5D.set_title(%22Relative%20Uncertainty%20(solid%3A%20no%20cutoff%2C%20dashed%3A%20with%20cutoff)%22)%0A%20%20%20%20%23%20Relative%20error%20comparison%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.show()%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Summary%0A%0A%20%20%20%20-%20In%20**rigidity%20space**%20the%20cutoff%20is%20a%20universal%20sharp%20threshold.%0A%20%20%20%20-%20In%20**energy%20space**%20the%20cutoff%20energy%20depends%20on%20%24Z%2FA%24%3B%20protons%20are%20suppressed%20up%20to%20higher%20energies%20than%20heavier%20nuclei.%0A%20%20%20%20-%20**Uncertainties%20propagate%20correctly**%20through%20the%20cutoff%20with%20no%20user%20intervention.%0A%20%20%20%20-%20The%20%60rigidity_cutoff%60%20parameter%20is%20available%20on%20all%20flux%2Ferror%20methods.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A